En el ámbito de la teoría de campos conformales (CFT) y la teoría de representaciones, un álgebra W es un álgebra asociativa que actúa como una generalización del álgebra de Virasoro. Estas estructuras fueron introducidas originalmente por Alexander Zamolodchikov, quien utilizó la letra 'W' para designar uno de los elementos en sus ejemplos iniciales, dando nombre a toda esta familia de álgebras.
Definición y Fundamentos
Un álgebra W se define como un álgebra asociativa generada por los modos de un número finito de campos meromórficos $W^{(h)}(z)$, donde se incluye el tensor de energía-impulso $T(z) = W^{(2)}(z)$. Para valores de $h \neq 2$, el campo $W^{(h)}(z)$ se considera un campo primario con una dimensión conformal $h \in \frac{1}{2}\mathbb{N}^$.
Los generadores del álgebra, denotados como $(W_n^{(h)})_{n \in \mathbb{Z}}$, se relacionan con los campos meromórficos a través de expansiones de modo:
Las relaciones de conmutación de $L_n = W_n^{(2)}$ están regidas por el álgebra de Virasoro, la cual está parametrizada por una carga central $c \in \mathbb{C}$. Este valor es fundamental y se conoce como la carga central del álgebra W.
La relación $[L_m, W_n^{(h)}] = ((h-1)m - n)W_{m+n}^{(h)}$ es equivalente a la premisa de que $W^{(h)}(z)$ es un campo primario de dimensión $h$. El resto de las relaciones de conmutación pueden determinarse, en principio, resolviendo las identidades de Jacobi.
Dada una serie finita de dimensiones conformales $H$, el número de álgebras W generadas puede ser cero, uno o varios. Estas álgebras pueden existir para cualquier carga central $c \in \mathbb{C}$ o solo para valores específicos.
Se dice que un álgebra W es libremente generada si sus generadores no obedecen ninguna otra relación más allá de las de conmutación. Las álgebras $W(N)$, muy estudiadas, entran en esta categoría.
Construcciones Sistemáticas
Aunque es posible construir álgebras W resolviendo identidades de Jacobi, existen métodos más sistemáticos para generar familias de estas álgebras.
Reducción de Drinfeld-Sokolov
A partir de un álgebra de Lie finita-dimensional $\mathfrak{g}$, junto con una inmersión $\mathfrak{sl}_2 \hookrightarrow \mathfrak{g}$, se puede construir un álgebra W desde el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie afín $\hat{\mathfrak{g}}$ mediante una construcción de tipo BRST. En este caso, la carga central del álgebra W es una función del nivel del álgebra de Lie afín.
Construcción de Coset
Dada un álgebra de Lie finita-dimensional $\mathfrak{g}$ y una subálgebra $\mathfrak{h} \hookrightarrow \mathfrak{g}$, se puede construir un álgebra $W(\hat{\mathfrak{g}}/\hat{\mathfrak{h}})$ a partir de las álgebras de Lie afines correspondientes. Los campos que generan esta álgebra son polinomios en las corrientes de $\hat{\mathfrak{g}}$ y sus derivadas que conmutan con las corrientes de $\hat{\mathfrak{h}}$.
Aplicaciones y Representaciones
El estudio de las álgebras W es crucial para comprender la simetría en sistemas físicos bidimensionales y la estructura de los modelos de campos conformales. Su capacidad para generalizar el álgebra de Virasoro permite describir sistemas con simetrías extendidas, കൂടുതൽ detailed analysis of the spectrum of operators and the structure of the same.
