En el ámbito del análisis matemático, los espacios de Lorentz, introducidos por George G. Lorentz en la década de 1950, representan una generalización de los más conocidos espacios $L^p$.
Estos espacios se denotan comúnmente como $L^{p,q}$. Al igual que los espacios $L^p$, se caracterizan por una norma (técnicamente una cuasinorma) que codifica información sobre el "tamaño" de una función. Las dos nociones cualitativas básicas de tamaño son la altura de la gráfica de la función y qué tan extendida se encuentra. Las normas de Lorentz permiten un control más preciso sobre ambas cualidades que las normas $L^p$, mediante el reescalado exponencial de la medida tanto en el rango ($p$) como en el dominio ($q$).
Definición
El espacio de Lorentz sobre un espacio de medida $(X, μ)$ es el espacio de funciones medibles con valores en los complejos extendidos $f: X o ar{\mathbb{C}}$ tales que la siguiente cuasinorma es finita:
Donde $0 < p < ∞$ y $0 < q ≤ ∞$. Cuando $q < ∞$, la expresión se define mediante una integral:
Y cuando $q = ∞$, la norma se define mediante el supremo:
Es convencional establecer que $L^{∞, ∞}(X, μ) = L^{∞}(X, μ)$. Dado que el espacio de Lebesgue débil $L_{\text{w}}^{∞}(X, μ) = L^{∞}(X, μ)$, obtenemos la siguiente cadena de igualdades:
Reordenamientos Decrecientes
La cuasinorma es invariante bajo el reordenamiento de los valores de la función $f$. Para una función medible compleja definida en un espacio de medida $(X, μ)$, su función de reordenamiento decreciente $f^: [0, ∞) o [0, ∞]$ se define para capturar la distribución de los valores de la función.
