El problema de los tres prisioneros es un clásico acertijo de probabilidad que apareció originalmente en la columna "Mathematical Games" de Martin Gardner en la revista Scientific American en 1959. Este problema es matemáticamente equivalente al famoso problema de Monty Hall, donde la libertad y la ejecución sustituyen al coche y las cabras.
El Planteamiento del Problema
Tres prisioneros, A, B y C, se encuentran en celdas separadas y han sido sentenciados a muerte. El gobernador ha seleccionado al azar a uno de ellos para ser indultado. El alcaide conoce la identidad del indultado, pero tiene prohibido revelarlo.
El prisionero A le ruega al alcaide que le diga el nombre de uno de los otros dos que serán ejecutados. El alcaide acepta bajo las siguientes condiciones:
- Si B será indultado, el alcaide dirá el nombre de C.
- Si C será indultado, el alcaide dirá el nombre de B.
- Si A será indultado, el alcaide lanzará una moneda al aire para decidir si menciona a B o a C.
El alcaide le dice a A que el prisionero B será ejecutado. En este punto, el prisionero A se siente optimista, creyendo que su probabilidad de sobrevivir ha aumentado de 1/3 a 1/2, ya que ahora la decisión recae solo entre él y C. Sin embargo, el prisionero A le cuenta la noticia a C, quien razona que la probabilidad de A sigue siendo 1/3, pero que su propia probabilidad de supervivencia ha subido a 2/3. ¿Quién tiene la razón?
La Solución Detallada
La respuesta es que el prisionero A no obtuvo ninguna información útil sobre su propio destino. Él ya sabía que el alcaide le daría el nombre de alguien más que fuera a ser ejecutado. Por lo tanto, su probabilidad de ser indultado sigue siendo 1/3.
Analicemos las probabilidades antes y después de la revelación:
- Probabilidad inicial: A, B y C tienen cada uno una probabilidad de 1/3 de ser indultados.
- El escenario del alcaide: Cuando el alcaide dice que B será ejecutado, puede ser por dos razones:
- C será indultado (probabilidad 1/3).
- A será indultado (probabilidad 1/3) y el alcaide lanzó la moneda y salió B (probabilidad 1/2). Esto da una probabilidad total de 1/3 × 1/2 = 1/6.
Comparando estas dos posibilidades, la probabilidad de que C sea el indultado (1/3) es el doble que la de que A lo sea (1/6). Por lo tanto, la probabilidad de A es 1/3 y la de C es 2/3.
Formulación Matemática con el Teorema de Bayes
Para formalizar esto, definamos los eventos A, B y C como el hecho de que el prisionero correspondiente sea indultado, y b como el evento de que el alcaide diga que B será ejecutado.
Utilizando el Teorema de Bayes, la probabilidad posterior de que A sea indultado es:
Por otro lado, la probabilidad de que C sea indultado es:
La diferencia crucial radica en que la probabilidad de que el alcaide nombre a B dado que A es indultado es 1/2, mientras que la probabilidad de que el alcaide nombre a B dado que C es indultado es 1.
Explicación Intuitiva
El prisionero A tiene una probabilidad inicial de 1/3. El hecho de que el alcaide nombre a alguien más que no sea él mismo no cambia su probabilidad, ya que el alcaide siempre iba a nombrar a alguien que no fuera A y que no fuera el indultado. Después de escuchar que B será ejecutado, A se da cuenta de que si él no es el indultado, el indulto debe ser para C. Esto significa que hay una probabilidad de 2/3 de que C sea el indultado.
Enumeración de Casos Posibles
- A es indultado y el alcaide menciona a B: 1/3 × 1/2 = 1/6 de los casos.
- A es indultado y el alcaide menciona a C: 1/3 × 1/2 = 1/6 de los casos.
- B es indultado y el alcaide menciona a C: 1/3 de los casos.
- C es indultado y el alcaide menciona a B: 1/3 de los casos.
En el 1/3 de las veces que A es indultado, el alcaide dice B en la mitad de las veces. Por lo tanto, solo en 1/6 de los casos totales el alcaide dice B porque A es el indultado. En cambio, en el 1/3 de que C sea indultado, el alcaide siempre dice B. Esto hace que sea mucho más probable que C sea el indultado cuando el alcaide menciona a B.
