La teoría de conjuntos musicales proporciona conceptos fundamentales para categorizar objetos musicales y describir sus relaciones. Originalmente, Howard Hanson elaboró muchos de los conceptos para analizar la música tonal, mientras que otros teóricos, como Allen Forte, desarrollaron la teoría para el análisis de la música atonal, basándose en la teoría de los doce tonos de Milton Babbitt.
Estos conceptos son sumamente generales y pueden aplicarse a estilos tonales y atonales en cualquier sistema de afinación de temperamento igual, e incluso más allá de estos límites.
Comparación con la teoría de conjuntos matemáticos
Aunque a menudo se piensa que la teoría de conjuntos musicales es una aplicación directa de la matemática, existen diferencias significativas en sus métodos y terminología. Por ejemplo, los músicos utilizan los términos transposición e inversión, mientras que los matemáticos hablarían de traslación y reflexión.
Además, la teoría de conjuntos musicales está más estrechamente relacionada con la teoría de grupos y la combinatoria que con la teoría de conjuntos matemáticos pura, la cual se ocupa de cuestiones como el tamaño de conjuntos infinitos. En combinatoria, un subconjunto no ordenado de n objetos se llama combinación, y uno ordenado se llama permutación. Por lo tanto, es más preciso considerar esta disciplina como una aplicación de la combinatoria a la teoría musical.
Tipos de Conjuntos
El concepto fundamental es el conjunto musical, que es una colección no ordenada de clases de tonos. Técnicamente, un conjunto de clases de tonos es una representación numérica consistente en enteros distintos (sin duplicados). Estos elementos pueden manifestarse en la música como acordes simultáneos, tonos sucesivos en una melodía, o ambos.
Las convenciones de notación varían, pero los conjuntos suelen encerrarse entre llaves {} o corchetes []. Para las secuencias ordenadas, algunos teóricos utilizan corchetes angulares ⟨ ⟩ o separan los números con espacios.
Nomenclatura según la cardinalidad
Dependiendo del número de elementos, los conjuntos reciben nombres específicos:
- Díadas: Conjuntos de dos elementos.
- Tricordios: Conjuntos de tres elementos (a veces llamados tríadas, aunque esto puede confundirse con el término tradicional).
- Tetracordios: Conjuntos de cuatro elementos.
- Pentacordios: Conjuntos de cinco elementos.
- Hexacordios: Conjuntos de seis elementos.
- Heptacordios: Conjuntos de siete elementos.
- Octacordios: Conjuntos de ocho elementos.
- Nonacordios: Conjuntos de nueve elementos.
- Decacordios: Conjuntos de diez elementos.
- Undecacordios: Conjuntos de once elementos.
- Dodecacordio: Conjunto de doce elementos.
Operaciones Básicas
Las operaciones principales que se pueden realizar sobre un conjunto son la transposición y la inversión. Los conjuntos relacionados por estas operaciones pertenecen a la misma clase de conjunto, ya que preservan la estructura interválica, aunque no necesariamente el carácter musical.
Otras operaciones incluyen:
- Complementación: El complemento de un conjunto X es el conjunto de todas las clases de tonos que no están contenidas en X.
- Multiplicación: El producto de dos clases de tonos es el producto de sus números de clase de tono módulo 12.
- Relación Z: Enfatizada por Allen Forte, ocurre entre dos conjuntos que comparten el mismo contenido interválico total (vector de intervalos) pero no son equivalentes por transposición o inversión.
Para secuencias ordenadas, también se aplican el retrógrado (reversión del orden de los elementos) y la rotación (permutación cíclica).