En matemáticas, una transformada integral es un tipo de transformación que mapea una función desde su espacio de funciones original hacia otro espacio de funciones mediante la integración. El objetivo principal de este proceso es que algunas de las propiedades de la función original sean más fáciles de caracterizar y manipular en el nuevo espacio que en el original.
Generalmente, la función transformada puede volver a mapearse al espacio de funciones original utilizando una transformada inversa.
Forma General
Una transformada integral es cualquier transformación
La entrada de esta transformada es una función
El Núcleo de la Transformada
Existen numerosas transformadas integrales útiles. Cada una se especifica mediante la elección de la función
Algunos núcleos tienen un núcleo inverso asociado
Un núcleo simétrico es aquel que no cambia cuando se permutan las dos variables; es decir, una función de núcleo
En la teoría de ecuaciones integrales, los núcleos simétricos corresponden a operadores autoadjointos.
Motivación y Aplicaciones
Existen muchas clases de problemas que son difíciles de resolver, o al menos algebraically engorrosos, en sus representaciones originales. Una transformada integral "mapea" una ecuación desde su dominio original hacia otro dominio en el cual la manipulación y resolución de la ecuación puede ser mucho más sencilla. Una vez resuelta, la solución puede volver al dominio original mediante la transformada inversa.
En el campo de la probabilidad, existen muchas aplicaciones que dependen de las transformadas integrales, como el "núcleo de precios" (pricing kernel) o el factor de descuento estocástico, así como el suavizado de datos recuperados de estadísticas robustas.
Historia
Los precursores de las transformadas fueron las series de Fourier, diseñadas para expresar funciones en intervalos finitos. Posteriormente, se desarrolló la transformada de Fourier para eliminar el requisito de los intervalos finitos.
Utilizando las series de Fourier, casi cualquier función práctica del tiempo (como el voltaje en los terminales de un dispositivo electrónico) puede representarse como una suma de senos y cosenos, cada uno debidamente escalado, desplazado y ajustado en frecuencia. Los senos y cosenos en las series de Fourier son un ejemplo de una base ortonormal.
Ejemplo de Uso: Transformada de Laplace
Como ejemplo de aplicación, la transformada de Laplace es una técnica que mapea ecuaciones diferenciales o integro-diferenciales hacia un dominio algebraico, facilitando enormemente la resolución de problemas de ingeniería y física.
