La estructura implica multiplicidad en teoría de conjuntos diatónicos

En la teoría de conjuntos diatónicos, el concepto de que la estructura implica multiplicidad es una propiedad fundamental de ciertas colecciones o escalas musicales. Esta cualidad permite predecir el número de patrones intervalares únicos que se forman cuando una serie de notas se transpone diatónicamente a través de una escala.

¿Qué significa que la estructura implique multiplicidad?

Para las colecciones que poseen esta propiedad, la serie de intervalos formada por la distancia más corta alrededor del círculo de quintas entre los miembros de una serie indica el número de veces que ocurren los diferentes patrones de intervalos adyacentes (no en el círculo de quintas) resultantes de las transposiciones diatónicas de esa serie.

• Estructura: Se refiere a los intervalos en relación con el círculo de quintas.
• Multiplicidad: Se refiere a la cantidad de veces que cada patrón de intervalos adyacentes diferentes aparece en la escala.

Esta propiedad fue descrita inicialmente por John Clough y Gerald Myerson en su obra "Variety and Multiplicity in Diatonic Systems" (1985).

Ejemplos y Aplicaciones

Esta propiedad es válida para la colección diatónica, la escala pentatónica y cualquier subconjunto de las mismas. Un ejemplo claro se observa cuando se aplica la regla de que la cardinalidad es igual a la variedad.

Un subconjunto diatónico de tres miembros de la escala de Do mayor (C major), compuesto por las notas Do–Re–Mi (C–D–E), al ser transpuesto a todos los grados de la escala, genera tres patrones intervalares distintos:

1. M2–M2 (Segunda mayor - Segunda mayor)
2. M2–m2 (Segunda mayor - Segunda menor)
3. m2–M2 (Segunda menor - Segunda mayor)

Relación con el Círculo de Quintas

Si analizamos el subconjunto C–D–E en el círculo de quintas, observamos que:

• Entre Mi (E) y Do (C) hay tres notas de distancia.
• Entre Do (C) y Re (D) hay dos notas de distancia.
• Entre Re (D) y Mi (E) hay dos notas de distancia.

El patrón de distancias en el círculo de quintas es 3–2–2. De acuerdo con la propiedad de estructura implica multiplicidad, el patrón M2–M2 ocurre tres veces, mientras que M2–m2 y m2–M2 ocurren dos veces cada uno.

Propiedad de Myhill

Tanto la regla de que la cardinalidad es igual a la variedad, como la propiedad de que la estructura implica multiplicidad, son características comunes de todas las colecciones que poseen la propiedad de Myhill.