En términos precisos, el teorema analiza la probabilidad de que $N$ puntos, distribuidos uniformemente al azar en una hiperesfera de dimensión
Dimensión n se ubiquen todos dentro de un mismo hemisferio (o medio espacio). Esto significa que se busca la probabilidad de que exista un medio espacio, con el origen en su frontera, que contenga a todos los $N$ puntos.
La Fórmula Matemática
El teorema establece que dicha probabilidad, denotada como
Probabilidad p_{n,N}, se calcula mediante la siguiente expresión:Fórmula general para p_{n,N}
Interpretaciones y Equivalencias
Esta afirmación es equivalente a decir que
Probabilidad p_{n,N} es la probabilidad de que el origen no esté contenido en la envolvente convexa de los $N$ puntos. Este resultado es válido para cualquier distribución de probabilidad en $\mathbb{R}^n$ que sea simétrica respecto al origen, incluyendo todas aquellas que son invariantes bajo rotación.
Relación con el Teorema de Schläfli
El Teorema de Wendel es, en esencia, una reformulación probabilística del Teorema de Schläfli. Este último establece que
Número de puntos N hiperplanos en posición general en el espacio Espacio euclidiano R^n dividen dicho espacio en un número de regiones dado por:Número de regiones resultantes según Schläfli
Preguntas Frecuentes
Respuestas a las dudas más habituales sobre Teorema de Wendel: Probabilidad en Hiperesferas.
James G. Wendel es el matemático al cual se le atribuye el teorema que calcula la probabilidad de puntos aleatorios en hiperesferas.
