En la teoría de conjuntos diatónicos, la propiedad de Rothenberg es un concepto fundamental para comprender la falta de contradicción y ambigüedad en la teoría general de las escalas musicales. Introducido por David Rothenberg en 1978, este concepto permite analizar cómo la relación entre los intervalos genéricos y específicos define la estabilidad perceptiva de una escala.
Definición de Propiedad
Rothenberg clasifica las escalas según su coherencia estructural basándose en la relación entre el número de pasos y el tamaño del intervalo resultante:
- Estrictamente propia: Una escala es estrictamente propia si todos los intervalos de dos pasos son mayores que cualquier intervalo de un paso, todos los de tres pasos son mayores que cualquier intervalo de dos pasos, y así sucesivamente.
- Propia: Una escala es propia si admite ambigüedades (intervalos de diferentes pasos que tienen el mismo tamaño), pero no admite contradicciones.
- Impropia: Una escala es impropia si admite contradicciones, es decir, cuando el orden de dos intervalos específicos es opuesto al orden de sus intervalos genéricos correspondientes.
Ejemplos de Escalas
Escalas Pentatónicas
La escala pentatónica mayor {0, 2, 4, 7, 9} es el único ejemplo de una escala pentatónica estrictamente propia. Otras escalas pentatónicas que son propias, pero no estrictamente, incluyen la escala de tonos enteros {0, 2, 4, 6, 8} y el acorde de novena dominante {0, 2, 4, 6, 9}.
Escalas Heptatónicas
Entre las escalas heptatónicas que son propias pero no estrictamente, se encuentran la escala diatónica {0, 1, 3, 5, 6, 8, t}, la escala menor armónica {0, 1, 3, 4, 6, 8, 9} y la escala alterada {0, 1, 3, 4, 6, 8, t}.
Escalas Impropias
Un ejemplo clásico de escala impropia es la escala Hirajōshi japonesa. En esta escala, los pasos en semitonos son 2, 1, 4, 1, 4. Aquí, un intervalo de un solo paso (una tercera mayor) puede ser más grande que un intervalo de dos pasos (una tercera menor), creando una contradicción estructural que, según Rothenberg, requiere un pedal o ostinato para proporcionar un punto de referencia perceptivo.
Definición Matemática
Desde una perspectiva matemática, si $\beta_i$ denota un elemento de la escala y $\wp$ es el número de elementos en el periodo $\Omega$ (generalmente una octava), la escala es estrictamente propia si $i < j$ implica que la clase de intervalos $\text{class}(i) < \text{class}(j)$. Es propia si $i \le j$ implica que $\text{class}(i) \le \text{class}(j)$.
Percepción y Estabilidad
Rothenberg hipotetiza que las escalas propias proporcionan un marco de referencia que ayuda a la percepción, creando una "gestalt estable". En contraste, las escalas impropias, debido a sus contradicciones, son más difíciles de procesar perceptivamente sin un apoyo externo como un drone o un ostinato.
